Formelen av Euler

Formelen av Euler - ifølge noen - den mest noensinne sammenlignet. Et komplekst tall kan være, antall representerer j √ for. Selv √ egentlig ikke eksisterer, gir denne notasjonen en rekke fordeler. Med komplekse tall periodiske funksjoner som synd og cos også skrives som eksponentiell. Det gjør problemer i differensial og integralregning med periodisk funksjon lettere oppløselig. Verdi leverer fyllepunkt og jπ e ^ + 1 = 0.

e ^ jπ + 1 = 0

Den sveitsiske matematikeren Euler er oppdageren av en bemerkelsesverdig formel, også kalt Eulers identitet.
Tenk deg:
et komplekst tall z = a + jb
To koordinater for ett tall:
Re = horisontal koordinat av antallet z = a =
Im = den vertikale koordinaten av antallet z = b =
z = = 1 poeng i et to-koordinatsystem.,
et komplekst tall kan skrives som: z = eller z =.
stedet vi bruker.
Tenk deg:
linje gjennom origo og punktet lengde 1, og vinkelen med Re-aksen er x, og deretter:
a = cos
b = sin
En annen stavemåte: for z
  • z = cos + jsin

Figur -klikk til vergroten-:
  • f = e ^ = cos + jsin

Funksjonen begynner ved punktet x = og eren f løper rundt i det komplekse plan. For det punkt er nådd.
Den mørke blå linjen representerer den deriverte f = jf for - f.
For å finne Eulers formel vi må fylle: gir det punktet z = cos + jsin = -1 + 0j eller.
  • e ^ = cos + jsin = -1 ?? ---- ?? e ^ jπ + 1 = 0

distraksjon
Det er ikke så mange likheter mellom π = 3,1415 ..... og e = 2,7182 .....
Den deriverte av e ^ x er i seg selv den deriverte av e ^ k ?? e ^.
Anta at vi definerer to krav som en funksjon f må tilfredsstille:
  • f '= k ?? f
  • f = 1

  • Vi kan lett definere løsningen:
    • f = e ^

    Anta at vi gir en verdi k, nemlig k = j, deretter endre kravene:
    Løsningen vil være:
    • f = e ^

    pair f = cos + jsin
    deretter:
    • f '= -sin + jcos = j ?? f

    Dette er i samsvar med f. Oppfyller f også?
    jsin cos + = 1, ja.
    Derfor, e ^ og (cos + jsin) lik hverandre:
    [Dette beviset kan utvides ved f '' = - legg f. Ligningen er da f '' - f = 0.]

    Historien til sammenligning

    Tallet j er vanligvis referert til som imaginære tall, men det blir brukt i så mange områder som vi kan spørre om nummeret er fortsatt «imaginære». Komplekse tall har blitt en svært kraftig verktøy for ingeniører og fysikere. Algebra er importert fra riket av araberne til Europa. Denne disiplinen egner seg godt til studiet av abstrakte saker som ligningen x ² + 1 = 0.
    Euler introdusert antall e i sine studier av "100% naturlig vekst." I det 17. århundre var antall 2,7182 ... allerede nevnt i publisering handler om logaritmer, men det fortsatt ikke ble ansett som standard nummer med navnet 'e'. I 1727 Euler var den som introduserte e som standard i matematikk.
    Euler var opptatt av vekstfaktorer i økonomiske spørsmål. Anta at vi bruker hver år euro 1 = tilbake til banken og banken ved utgangen av året, 100% av interesse, da dette vil resultere i nøyaktig ett euro tilbake. Etter ett år har vi over euro 2 = strøm.
    Vi kan argumentere for at banken må raskt betale renter på investeringer, for eksempel per måned. I dette tilfellet, tar vi deg med interesse = 8,33% per måned. Ved slutten av året vil gi en sum av ^ 12 = 2,61 euro.
    Utbetalingen tiden ytterligere redusere problemet med "100% kontinuerlig vekst". Det ser ut til at ytterligere reduksjon for å slå inn i enden av året euro 2,71. Til sammenligning viser 100% kontinuerlig vekst ser slik ut;
    • d / dx = e ^ x
    • lim x → ∞ = e
    (0)
    (0)

    Kommentarer - 0

    Ingen kommentarer

    Legg en kommentar

    smile smile smile smile smile smile smile smile
    smile smile smile smile smile smile smile smile
    smile smile smile smile smile smile smile smile
    smile smile smile smile
    Tegn igjen: 3000
    captcha